偏微分方程的历史

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偏微分方程的起源

如果一个微分方程中的未知函数只包含一个自变量，这个方程称为常微分方程，简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者如果未知函数与几个变量有关，方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这个微分方程就是偏微分方程。

随着科学技术的飞速发展，人们用一个自变量的函数来描述很多问题是不够的，很多问题是用多个变量的函数来描述的。

例如，从物理角度来看，物理量有不同的性质，以及温度、密度等。用数值来描述，称为纯量；速度、电场的吸引力等。，不仅值不同，而且有方向，这些量叫做向量；物体在某一点的张力状态所描述的量称为张量，依此类推。

这些量不仅与时间有关，还与空之间的坐标有关，应该用多元函数来表示。

需要指出的是，所有可能的物理现象，都只能用一些多元变量的函数来表示时才能理想化，比如介质的密度，但实际上“某一点”的密度是不存在的。

而我们把某一点的密度看作体积无限小时物质质量和体积的极限，这是理想化的。

介质的温度也是如此。

由此产生了一个研究某些物理现象的理想多元泛函方程，称为偏微分方程。

微积分方程诞生于18世纪。欧拉在工作中首次提出了弦振动的二阶方程。不久之后，法国数学家达朗贝尔也在《论动力学》一书中提出了一个特殊的偏微分方程。

这些作品在当时并没有引起太多的关注。

1746年，达朗贝尔在《张力弦振动形成曲线的研究》一文中提出证明不同于正弦曲线的无穷多种曲线都是振动模式。

这样，偏微分方程的学科就由弦振动的研究开始了。

与欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·伯努利也研究了数学物理，提出了理解弹性系统振动的一般方法，极大地影响了偏微分方程的发展。

拉格朗日还讨论了一阶偏微分方程，丰富了本课题的内容。

偏微分方程在19世纪发展迅速。当时，数学物理的研究蓬勃发展，许多数学家为解决数学物理问题做出了贡献。

这里要提一下法国数学家傅立叶，他年轻时是一位杰出的数学家。

在对热流的研究中，他写了《热的解析理论》，其中他提出了三维空之间的热方程，这是一个偏微分方程。

他的研究对偏微分方程的发展有很大影响。

偏微分方程的内容

偏微分方程是什么样的？包括哪些内容？这里可以从一个例子的学习来介绍一下。

弦振动是一种机械运动。当然，机械运动的基本定律是质点力学的F=ma，但弦不是质点，所以质点力学定律不适用于弦振动的研究。

但是，如果把弦分成几个微小的片段，把每一个片段抽象地看成一个质点，那么就可以应用质点力学的基本定律。

弦是指又细又长的弹性材料。比如弦乐器用的弦，细长，柔软，有弹性。

演奏时，弦总是绷紧的，张力比弦的重量大几万倍。

当演奏者在弦上用薄片搅动或用弓拉时，虽然只有他接触的一根弦振动，但由于张力的作用，它会扩散到振动整根弦。

通过微分分析，我们可以得到一个偏微分方程，其中弦上某点的位移是该点的位置和时间作为自变量。

偏微分方程有很多种类型，包括椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程和双曲型偏微分方程。

上面的例子是弦振动方程，属于数学物理方程中的波动方程，也就是双曲型偏微分方程。

偏微分方程一般有无穷多个解，但在求解具体物理问题时，必须选择需要的解，所以还必须知道附加条件。

因为偏微分方程是同类现象的普遍规律的表达，仅仅把握和理解具体问题的特殊性是不够的。所以就物理现象而言，每个具体问题的特殊性在于研究对象所处的具体条件，即初始条件和边界条件。

以上面给出的弦振动为例。同样弦的弦乐器，如果一个是用薄片拨弦，一个是用弓拉弦，那么它们的声音就不一样了。

原因是“拨动”或“拉动”的“初始”时刻的振动情况不同，所以后续的振动情况也不同。

天文学上也有类似的情况。如果想通过计算来预测天体的运动，就必须知道这些天体的质量。除了牛顿定律的一般公式之外，你还必须知道我们所研究的天体系统的初始状态，即在某个起始时刻，这些天体的分布及其速度。

求解任何数学物理方程时，总会有类似的附加条件。

就弦振动而言，弦振动方程只代表弦内点的力学规律，而弦的端点不成立，所以弦两端必须给出边界条件，即要考虑研究对象所在边界上的物理条件。

边界条件也称为边值问题。

当然，客观现实中仍然存在“无初始条件的问题”，如固定场问题、“无边界条件的问题”。比如关注两端不靠近的字符串，在抽象上会变成没有边界的字符串。

数学上，初始条件和边界条件称为定解条件。

偏微分方程本身表达了同类物理现象的共性，作为解题的依据；定解条件反映了具体问题的个性，它提出了问题的具体情况。

方程和定解条件的结合称为定解问题。

要求一个偏微分方程的定解，可以先求其通解，然后用定解条件确定函数。

但一般来说，在实践中不容易找到通解，用定解条件确定函数就更难了。

偏微分方程的求解也可以用分离系数法，也叫傅里叶级数；也可以用分离变量的方法，也叫傅里叶变换或傅里叶积分。

分离系数法可以解决有界空之间的定解问题，分离变量法可以解决无界空之间的定解问题。拉普拉斯变换也可以用来求解一维空之间的数学物理方程的定解。

拉普拉斯变换可以用来将方程转化为常微分方程，同时也考虑了初始条件，所以解了常微分方程再反过来就足够了。

需要指出的是，偏微分方程的定解虽然有各种各样的解法，但不能忽视的是，有很多定解问题由于某些原因不能严格求解，只能通过近似方法得到满足实际需要的近似解。

常用的方法有变分法和有限差分法。

变分法是将定解问题转化为变分问题，然后求变分问题的近似解；有限差分法是将定解问题转化为代数方程，然后用计算机计算；还有一种更有意义的模拟方法，用另一个物理问题实验研究代替一个物理问题的定解。

物理现象虽然性质不同，但在数学上抽象地表示为同一个定解问题。比如对不规则形状物体中稳定温度分布的研究，就是数学中拉普拉斯方程的边值问题。由于很难解决，可以对静电场或稳恒电流场做相应的实验研究，测量场中各处的电势，从而解决所研究的稳恒温度场中的温度分布问题。

随着物理科学中研究的现象在广度和深度上的扩展，偏微分方程的应用范围也越来越广。

从数学本身来看，偏微分方程的求解促进了数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等方面的发展。

从这个角度看，偏微分方程成为数学的中心。