莱昂哈德·欧是谁 为什么几乎每一个数学领域都可以看到他的名字

莱昂哈德·欧拉是瑞士数学家和自然科学家。1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭。他15岁时获得巴塞尔大学学士学位，次年获得硕士学位。1727年，欧拉应圣彼得堡科学院的邀请来到俄罗斯。1731年，他接替丹尼尔.伯努利成为物理学教授。他以旺盛的精力致力于研究。在俄罗斯的14年里，他在分析、数论和力学方面做了许多杰出的工作。1741年，他受普鲁士腓特烈大帝邀请，在柏林科学院工作了25年。在柏林期间，他的研究更为广泛，涉及行星运动、刚体运动、热力学、弹道学和人口学，促进了他的数学研究。他于1766年回到圣彼得堡。他于1783年9月18日在俄罗斯圣彼得堡去世。

欧拉的作品出人意料的多产绝非偶然。他可以在任何不利的环境下工作。他经常抱着孩子在膝盖上写完论文，不管他身边的孩子有多吵。他顽强的毅力和孜孜不倦的学术精神使他双目失明，并没有停止对数学的研究。失明后的17年里，他还口述了几本书和大约400篇论文。19世纪伟大的数学家，高斯

欧拉的父亲保罗·欧拉也是数学家。他希望小欧拉在学习神学的同时，也能教他一点数学。由于他的天赋和勤奋精神，他受到约翰·伯努利的赏识和特别指导。19岁时，他写了一篇关于船桅的论文，获得了巴黎科学院的奖，他父亲不再反对他学习数学。

1725年，约翰·伯努利的儿子丹尼尔·伯努利去了俄罗斯，并向沙皇卡德林一世推荐了欧拉。因此，欧拉于1727年5月17日来到彼得堡。1733年，年仅26岁的欧拉成为彼得堡科学院的数学教授。1735年，欧拉解决了一个天文难题，被几个著名数学家解决了几个月。而欧拉用他发明的方法，三天就完成了。但是过度的工作让他患上了眼疾，不幸的是右眼失明。这时，他才28岁。1741年，欧拉应普鲁士彼得大帝的邀请，前往柏林担任科学院物理与数学研究所所长。直到1766年，在沙皇卡德林二世的诚挚邀请下，他回到了彼得堡，但没过多久，他的左眼视力开始衰退，最终完全失明。不幸的是，事情随之而来。1771年，彼得堡的大火影响了欧拉的住所。64岁的欧拉因病失明，被困在大火中。虽然他从火海中获救，但他的研究和大量的研究成果都化为灰烬。

沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下，他发誓要收回损失。在他完全失明之前，他仍然能模糊地看到东西。他抓住最后一刻，在一块大黑板上潦草地写下他找到的公式，然后听写其内容，并由他的学生记录下来，特别是长子a .欧拉。欧拉完全失明后，依然以惊人的毅力与黑暗搏斗，用记忆和心算研究。

欧拉的记忆力和心算能力是难得的。他能复述他年轻时笔记的内容。心算不限于简单的运算。高等数学可以背下来。有个例子可以说明他的能力。欧拉的两个学生把一个复收敛级数的17项相加，数到第50位数字。两者的区别是一个单位。为了确定谁是对的，欧拉把所有的操作都用心计算了一遍，最后找出了错误。它还解决了引起牛顿头痛的月球分离问题和许多复杂的分析问题。

欧拉的风格很高。拉格朗日是一位比欧拉更晚的伟大数学家。从19岁开始，他就和欧拉交流，讨论等周问题的通解，从而导致了变分法的诞生。等周问题是欧拉多年苦心考虑的问题，拉格朗日解法赢得了欧拉的热烈赞誉。1759年10月2日，欧拉写了一封信，信中称拉格朗日的成就，并谦虚地暂时压制了他在这方面相对不成熟的作品。它使年轻的拉格朗日的作品得以出版和传播，并赢得了巨大的声誉。晚年，欧洲所有数学家都把他当老师。著名数学家拉普拉斯曾经说过:“欧拉是我们的导师。”欧拉精力充沛的努力一直持续到最后一刻。1783年9月18日下午，欧拉邀请朋友共进晚餐，庆祝他成功计算出气球上升定律。天王星刚刚发现了它。欧拉写了计算天王星轨道的要领，和孙子一起笑。喝完茶，突然发病，烟斗从手上掉下，嘴里喃喃道:“我死了。”欧拉终于“停止了他的生活和计算”。

在数学领域，18世纪可以正确地称为欧拉世纪。欧拉是18世纪数学的中心人物。他是继牛顿之后最重要的数学家之一。在他的数学研究成果中，第一个是分析。欧拉整理了伯努利家族继承的莱布尼茨学派的分析内容，为19世纪数学的发展奠定了基础。他将微积分方法在形式上进一步发展到复数范围，在偏微分方程、椭圆函数论、变分法的建立和发展方面留下了开创性的成果。在《欧拉全集》中，有17卷属于分析领域。他被同时代的人誉为“分析的化身”。

数学史上公认的四大数学家是阿基米德、牛顿、欧拉、高斯。阿基米德有“托起地球”的豪言壮语，牛顿以苹果闻名，高斯少年时就显示出计算天赋，而欧拉却没有引人注目的故事。

然而，欧拉的名字几乎可以在每一个数学领域里看到——初等几何的欧拉线、多面体的欧拉定理、立体解析几何的欧拉变换公式、数论的欧拉函数、变分法的欧拉方程、复变函数的欧拉公式...欧拉也是数学史上最多产的数学家。他一生写了886种书和论文，平均每年800多页。彼得堡科学院为了整理他的著作忙了47年，他的著作《无穷小分析导论》《微分学》《积分学》是18世纪欧洲标准的微积分教材。欧拉还创造了f、σ、I、e等一批数学符号，使数学更容易表达和推广。而且欧拉把数学应用到了数学以外的很多领域。

法国伟大的数学家拉普拉斯曾经说过一句话——读欧拉，他是大家的老师。中国科学院数学与系统科学研究所的研究员李文林说:“欧拉实际上是一个熟悉的名字。在数学和物理的许多分支中，以欧拉命名的常数、公式、方程和定理比比皆是。他的探索使科学更接近我们现在的形式。”

恩格斯曾经说过，微积分的发明是人类精神的最高胜利。1687年，牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中首次发表了他的微积分理论。几乎与此同时，莱布尼茨也发表了一篇微积分论文，但牛顿和莱布尼茨创立的微积分基础不稳固，应用范围有限。18世纪，一群数学家对微积分进行了拓展，扩大了它的应用范围，产生了一系列新的分支，这些分支与微积分本身一起形成了一个广阔的领域，叫做“分析”。李文林说:“欧拉生活在这个分析的时代。如果说在此之前数学是以代数和几何为主导的话，18世纪欧拉等数学家的工作让数学形成了代数、几何和分析三足鼎立的局面。没有他们的工作，微积分不可能充满春天，可能会变得贫瘠枯萎。欧拉在其中的贡献是根本性的，被尊为“分析的化身”

中科院数学与系统科学研究所研究员胡作宣说:“牛顿已经形成了突破，但突破不一定形成学科，还存在很多遗留问题。”比如牛顿对无穷小的定义不严格，有时等于零，有时参与计算，被称为“失量之鬼”。当时连教会牧师都抓住这一点攻击牛顿。另外，由于当时函数的限制，牛顿和莱布尼茨只涉及到少数函数及其微积分。欧拉极大地推动了微积分，发展了很多技能。

“在分析之前，数学主要解决的是匀速直线运动的问题。在18世纪的工业革命中，蒸汽机和纺织机等机器得到了广泛的应用，但如果没有微积分和分析，就不可能准确地计算出机械运动和变化。李文林说，到目前为止，微积分和微分方程仍然是描述运动最有效的工具，教科书中陈述的许多方法都归功于欧拉的贡献。更重要的是，牛顿的微积分和莱布尼茨的微积分对象是曲线，而欧拉则明确指出数学分析的中心应该是函数，这第一次强调了函数的作用，深化了函数的概念。

变分法起源于微积分，由欧拉和拉格朗日从不同角度发展成为一门独立的学科，用于求解极值问题。变分研究的起源颇具戏剧性——1696年，欧拉的老师、巴塞尔大学的教授约翰·伯努利提出了这样一个问题，并向其他数学家提出了挑战:想象一个小球沿着一条曲线从空之间的一点滚动到另一点，并问什么形状的曲线使球用最短的时间着陆。这就是著名的“最速下降问题”，时隔半年仍未解决，于是伯努利更明确地说“即使是对自己方法评价很高的数学家也解决不了这个问题”。有人说他是在影射牛顿，因为伯努利是莱布尼茨的追随者，莱布尼茨和牛顿是因为微积分的优先性而打架，导致欧洲和英国数学家的分裂。

牛顿当时是伦敦造币厂的厂长。有一天，他收到一个法国朋友转发的“挑战书”，于是他晚饭后熬夜，天亮前解开，匿名发表在《剑桥大学哲学杂志》上。虽然匿名，约翰·伯努利在看到它后喊道:“我从这只锋利的爪子认出了这只狮子。”后来伯努利兄弟和莱布尼茨也解决了这个问题，并在同一期发表。

这个问题中，变量本身就是一个函数，所以比微积分的极小极大问题更复杂。这个问题和其他类似问题的解成为变分法的起源。欧拉找到了解决这类问题的一般方法。教材中变分法的基本方程叫做欧拉方程。

当欧拉13岁上大学时，约翰·伯努利已经是欧洲著名的数学家。伯努利后来对欧拉说:“我介绍高级分析的时候，还是个孩子，你在带大。”

李文林说:“除了分析，欧拉的名字在数学的许多领域都是不可避免的。比如高斯说数学是科学的女王，而数论是数学的女王，其难度和地位可想而知。”代数数论的形成与费马大定理密切相关。17世纪费马提出的一个猜想——方程，当n≥3时，没有整数解。费马大猜想也叫费马大定理。费马提出这个猜想的时候，在论文边上写了一句话声称:“我找到了一个绝妙的证明，但是书的边空太窄了，写不出来。”所以费马的证明成了一个永恒的谜。300年后，费马大定理终于在1993年被英国数学家解决。整个18世纪，数学家们都想解决这个猜想，但只有欧拉取得了唯一的成果，证明了n=3的情况，成为费马大定理研究的第一个突破。

欧拉是解析数论的创始人。他提出了欧拉恒等式，建立了数论与分析的联系，使用微积分研究数论成为可能。后来高斯的学生黎曼把欧拉恒等式推广到复数，提出了黎曼猜想，至今未能解决，成为21世纪挑战数学家的最重要问题之一。

“在几何方面，欧拉解决了哥尼斯堡七桥问题，这也成为图论和拓扑学的起源。”李文林说。哥尼斯堡曾经是德国城市，后来属于苏联。弗里茨普雷格尔河穿过城市，在河中的一个岛屿周围分成两条支流。河上已经建了七座桥。传说当地居民想设计一条步行道，从某个地方出发，经过每一座桥回到原来的地方，中间不重复。李文林说:“这是今天的‘一招’问题，但当时没人能解决。欧拉把这个问题转化成数学模型，画了一个有点有线的网络图，证明了这种走法不存在，解决了哥尼斯堡七桥问题。对这些问题的讨论和研究实际上导致了图论和拓扑学的发展。”

拓扑中的欧拉特征也可以追溯到1752年欧拉提出的一个关于凸多面体的定理:在凸多面体中，顶点-边+面的个数=2。陈省身曾经指出，欧拉特性是许多问题和解决方案的来源，它对几何学的影响是根本性的。李文林说:“欧拉能够解决许多其他问题，因为他的数学很好。欧拉的贡献在物理、力学、天文学、航海、大地测量学等领域无处不在。他是典型的全能数学家。牛顿和莱布尼茨发明的微积分可以说是‘原始生态学’，18世纪欧拉写的文章现在还能看。可以说，欧拉等人使数学，特别是分析，发展成了现代形式。”

欧拉是历史上最多产的数学家。瑞士自然科学基金会组织编纂了《欧拉全集》，计划制作84卷，每卷4册。如果按每本书300页计算，欧拉从18岁开始每天要写一张半纸。但这些只是剩下的作品，欧拉的手稿在1771年的彼得堡大火中部分丢失。欧拉曾经说过，他的最后一份手稿将为彼得堡科学院保存大约20年。但实际上，在他去世后的第八十个年头，他的作品仍然发表在《彼得堡科学院学报》上。

“天才在于勤奋，欧拉就是这个道理的体现。”李文林说:“很多科学家都很勤奋，欧拉是最典型的。失明后的十几年，他在完全看不见的情况下学习。欧拉的心算能力很强，可以让别人听写下来。有一次欧拉的两个学生计算出了无穷级数的和。第17项清点时，两人就小数点后第50位数字发生了争执。欧拉此时做了心算，迅速给出了正确答案。”

“高斯的神童故事很有趣，但不是每个人都是神童。即使是神童，高斯也以勤奋著称。可以说，有伟大成就的数学家，一定是勤奋的。”例如，李文林说，被称为“现代分析之父”的德国数学家维勒斯特拉斯也极其勤奋。大学毕业后，在一所偏远中学任教14年，教数学、德语、书法、体育。每天晚上，他都以惊人的毅力坚持研究。当时他的工资很低，投稿也没有邮费。后来，一次偶然的机会，他的研究论文发表在德国数学家克莱尔创办的数学杂志上，震惊了欧洲科学界。

胡作宣认为，欧拉的成功显示了一个人的潜力。“高斯曾经说过，要像欧拉那样做，我的眼睛会瞎的。一个人做事没有问题，但是现在社会更复杂了。我们应该为科学而科学，为艺术而艺术。”

除了学习，欧拉在管理方面也很有天赋。他曾任德国柏林科学院助理院长，工作卓有成效。李文林说:“有些人认为科学家，尤其是数学家，都是怪人，但实际上数学家有不同的个性、经历和命运。牛顿和莱布尼茨终身未婚，欧拉则不同。”欧拉喜欢音乐，过着丰富多彩的生活。她结过两次婚，生了13个孩子，活了5个。据说她的儿孙们经常在工作时围着她的膝盖转。去世当天下午，他给孙女上了一节数学课，和朋友讨论天王星轨道的计算。突然说了一句“我要死了”，然后就摔倒了，停止了生活和计算。

回顾欧拉的一生，李文林说:“虽然他20岁离开瑞士，再也没有回去过，但他是一个爱国者，直到去世才改变国籍。所以现在我们还是可以说他是瑞士数学家。”

“牛顿、莱布尼茨、欧拉、拉格朗日、拉普拉斯都是综合数学家。后来随着科学的发展，通才越来越少。有人说庞加莱可能是最后一个。”但数学不会因此而枯萎。李文林说:“18世纪末，数学家中有一种悲观主义。即使像拉格朗日这样的大数学家也认为数学已经结束了，但恰恰相反，19世纪初非欧几何的发现、群论的创立、微积分严格性的突破，使数学取得了意想不到的蓬勃发展。现代数学，特别是与计算机结合后，一定会有新的形式。”

自2008年以来，一种名为数独的益智游戏在世界各地都很流行。这个游戏的规则极其简单，但是玩法却是五花八门，让全世界的男女老少都为之疯狂。2004年，在《英国时报》走红之前，为了娱乐大众，就出版了《数独》这个书名。从那以后，短短几年间，全世界约60个国家的350多家报纸几乎每天都在刊登数独游戏的标题。这两年，全国各地的日报和晚报都在迎头赶上，留出专门的版面，报道数独比赛的消息，每天都带着数独的标题。各国各大城市纷纷举办数独比赛。在英国，“数独”一直是电视台的黄金节目。第一届世界数独锦标赛于2006年在意大利举行，获胜者被视为“智商超群”，举世瞩目。

很多数独迷都知道，这款游戏的流行是因为一个叫Gold的新西兰人。此人在香港做了15年法官。1 996年退休后，他游历日本，在机场偶然发现一本介绍数独的小册子。金立刻迷上了，投身于数独的开发和推广，使他变得富有。但鲜为人知的是数独本身并不是一个数学问题，它的起源是一个叫做拉丁方的古老数学问题，最早是由18世纪传奇而高产的大数学家伦纳德·欧拉研究的。

“拉丁方矩阵”的研究在欧拉的学术范围内并不占主要地位。这个问题源于普鲁士国王腓特烈安排他的仪仗队。国王有一个仪仗队，由来自6个部队的36名军官组成，每个军官有一名上校、一名中尉、一名少校、一名上尉和一名少尉。国王要求36名军官排成6行6列的方阵。每行每列的6名军官必须来自不同的单位，有不同的军衔。问题看似简单，弗雷德里克绞尽脑汁却无法安排，于是向著名数学家欧拉请教。欧拉研究后告诉国王，没必要浪费时间，因为这个问题根本没有解决的办法。继欧拉之后，许多数学家开始研究“拉丁方矩阵”，并在这一领域留下了许多定理。

"欧拉的计算似乎毫不费力，就像人们呼吸一样，就像老鹰在风中盘旋一样."，这句话对于欧拉无与伦比的数学能力并不夸张，他是历史上最多产的数学家。他的同时代人称他为“分析的化身”。欧拉写一篇很长的学术论文，就像一个思维敏捷的作家给密友写信一样容易。即使是他生命最后17年的完全失明，也未能阻止他极其多产。如果说失明有什么影响的话，那就是提高了他内心世界的思考想象力。

直到1936年，人们才确切知道欧拉究竟创作了多少部作品。但收集到的欧拉著作，估计需要4版60到80卷才能出版。彼得堡学院花了47年整理他的作品。1909年，瑞士自然科学联合会开始收集出版欧拉三义发表的学术论文。这项工作是在世界各地许多个人和数学团体的支持下进行的。这恰恰说明欧拉属于整个文明世界，而不仅仅是瑞士。这项工作精心准备的预算被圣彼得堡大量欧拉手稿的意外发现彻底打破。

据统计，欧拉一生平均每年发表学术论文800页，涉及多个学术领域。1911年，数学界开始系统出版欧拉的著作，并将其命名为《歌剧Omnia》。全集计划为84卷。到目前为止，已经有80卷上架，剩下的4卷正在准备中。平均体积超过500页厚，重约4磅。《欧拉全集》估计完成后会重300斤左右。

欧拉的数学生涯始于牛顿去世的那一年。对于欧拉这样的天才来说，不可能选择更有利的时代。解析几何应用了90年，微积分大约50年，物理天文学的关键牛顿万有引力定律在数学上摆在人们面前40年。在这些领域中的每一个领域，都解决了大量孤立的问题，并在各地进行了明显的统一尝试。但是没有像后来那样对整个数学、纯数学和应用数学进行系统的研究。特别是，德莱斯、牛顿和莱布尼茨的强有力的分析方法并没有像后来那样得到充分利用，尤其是在力学和几何方面。

当时代数和三角学都是系统化的，在较低层次上展开的。尤其是后者已经基本完善。欧拉也证明了自己真的是大师。其实欧拉各种天赋最显著的一个特点就是，他在数学的两个分支——连续数学和离散数学——有着相同的能力。

作为算法学家，欧拉从来没有被任何人超越过。也许除了雅各比，从来没有人接近过他的水平。算法学家是为解决各种特殊问题设计算法的数学家。举个简单的例子，我们可以假设任意正实数都有实数的平方根。但是这个根怎么算呢？已知的方法很多，算法学家要设计出切实可行的具体步骤。比如在丢番图分析和积分学中，当一个或多个变量被其他变量的函数巧妙地变换后，问题往往是无法解决的。算法学家是自然发现这个窍门的数学家。他们没有任何相同的程序可遵循，算法学家就像能随便写打油诗的人——他们是天生的，不是后天培养的。

当一个真正伟大的算法科学家像印度的Ro-Manu Columum一样突然从哪里冒出来时，即使是有经验的分析师也会为他欢呼，认为他是上天的礼物:他对看似无关的公式的神奇洞察力将揭示从一个领域通向另一个领域的隐藏线索。这样分析师就可以获得新的话题来找出这些线索。算法学家是“公式学家”，他们为了公式本身而喜欢漂亮的形式。

在谈论欧拉平静而有趣的生活之前，我们必须先介绍一下他那个时代的两个环境因素，这两个因素促进了他惊人的活动，指导了他的活动。

在18世纪的欧洲，大学不是学术研究的主要中心。如果没有古典传统及其可以想象的对科学研究的敌意，大学可能会成为主要的研究中心。数学对于古人来说足够严谨，被重视；但是物理比较新，被人怀疑。此外，在当时的大学里，人们希望数学家把大部分精力投入到基础教学上。至于学术研究，如果做了，那就是无用的奢侈品，就像今天美国普通高校的情况一样。当时，英国大学的研究人员能够在他们选择的科目上做得很好。然而，他们很少愿意选择任何科目，无论他们做什么或做什么失败都不会影响他们的生计。在这种松懈或公开的敌意下，没有充分的理由解释为什么这些大学应该在科学发展中发挥主导作用，但事实上它们没有。

这项主要责任由皇家科学院承担，由慷慨或有远见的统治者资助。普鲁士的腓特烈大帝和俄国的叶卡捷琳娜女王慷慨地给予数学无偿援助。它们使数学的发展有可能在整整一个世纪的科学史上处于最活跃的时期。对欧拉来说，是柏林和圣彼得堡提供了数学创造的力量。而这两个创作中心应该把对欧拉的鼓励归功于莱布尼茨不断进步的雄心。正是莱布尼茨起草了这个计划，让欧拉有机会成为历史上最有生产力的数学家。所以，从某种意义上说，欧拉是莱布尼茨的苗族。

柏林科学院40年来一直在走下坡路，就是因为脑子不够用。欧拉在腓特烈大帝的鼓励下，给了它强大的冲击力，使它重新活了过来。彼得大帝在世时没有时间按照莱布尼茨的计划建立的圣彼得堡科学院是由他的继任者建立的。

与今天的一些书院不同，这两个书院主要负责鉴别文笔好的优秀作品，授予院士资格。他们是聘请院士进行科学研究的研究机构。工资和津贴足够丰厚，足以保证一个人家庭的舒适生活。欧拉家曾经有不下18口人，他足够让他们都过上富足的生活。18世纪院士的生活最没有吸引力的是，只要他的孩子有什么天赋，他们一定会得到一个很好的展示机会。

接下来，我们将看到对欧拉卓有成效的数学成就有决定性影响的第二个因素。提供经济支持的统治者自然希望他们的钱被用来交换抽象文化以外的东西。然而，必须强调的是，一旦统治者的投资获得适当的回报，他们就不再坚持受雇者将剩余时间用于“生产性”工作。欧拉、拉格朗日等院士可以自由的为所欲为。没有明显的压力强迫任何人拿出可以直接被政府利用的东西。18世纪的统治者比今天许多研究所的院长更明智，让科学按照自己的规律发展，只是偶尔提到他们目前需要什么。他们似乎本能地意识到，所谓的“纯”研究，只要时不时地提出一个恰当的建议，就会把他们所期待的紧迫的实际问题作为副产品。

这个一般的说法有一个重要的例外，既不证明也不否定这个规律。就在欧拉的时代，数学研究中尚未解决的问题，恰恰与海上霸权有关，这在当时或许是一等一的实际问题。航海技术优于其他所有对手的国家必然会控制海洋。航海的首要问题是在离岸数百海里的海面上准确确定船只的位置，使其比敌人更快到达海战现场。众所周知，英国控制着海洋。它能做到这一点，在很大程度上是因为它的航海家能够将纯粹的数学研究成果应用于18世纪的天体力学。这样的实际应用与欧拉直接相关。牛顿是现代航海的创始人，尽管他从未为这个问题费心，也从未登上过轮船的甲板。确定船只在海上的位置取决于观察天体。牛顿万有引力定律说明，如果有必要的话，完全耐心，一百年内行星的位置和月球相位的盈亏是可以提前计算出来的。想控制海洋的人会安排航海历书的计算器努力编制星球未来位置表。

在这个非常实际的原因中，月球提出了一个特别棘手的问题，就是牛顿定律吸引的三颗恒星的问题。当我们进入20世纪，这个问题会多次重现。欧拉是第一个为这个月球问题提出可计算解决方案的人。三颗相关的恒星是月亮、地球和太阳。虽然这里不能说这个问题，只能推到后面几章，但是可以说这个问题是整个数学范畴中最难的问题之一。欧拉没有具体回答这个问题，但他的近似计算方法有足够的实用价值，足以让英国计算器为英国海军部计算月球表。因为这个原因，计算器得到了5000英镑，欧拉因为他的方法得到了300英镑的奖金。