祖冲之与圆周率的故事 祖冲之与圆周率

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祖冲之与圆周率

祖冲之不仅精通天文历法，而且对数学的贡献，尤其是圆周率研究的突出成就，超越前代，在世界数学史上放射出异彩。

众所周知，圆周率是一个圆的周长与同一个圆的直径之比，这是一个常数，现在常用希腊字母“Wu”来表示。圆周率是一个永远不能除的无穷小数，不能用分数、有限小数或循环小数来完整准确地表示。由于现代数学的进步，小数点后两位数的圆周率已经计算出来了。

圆周率被广泛使用。尤其是天文学和历法，所有的问题都涉及到圆；有必要用圆周率来计算。我国古代劳动人民在生产实践中获得的最早的圆周率值是“3”，当然很不精确，但一直沿用到西汉。后来，随着天文学、数学等科学的发展，越来越多的人研究圆周率。西汉末年，刘欣首先抛弃了“3”这个不准确的圆周率值，他原来是3.1547。东汉的张衡也计算圆周率为3.1622。与n = 3相比，这些值有了很大的进步，但还远远不够精确。三国末期，数学家刘徽创造了割圆法计算圆周率的方法，圆周率的研究取得了很大进展。

割线圆求圆周率的方法大致如下:先做一个圆，然后在圆内做一个内接正六边形。假设圆的直径为2，半径等于l，内接正六边形的一边一定等于半径，所以也等于1；它的周长等于6。如果把内接正六边形的周长6看作一个圆的周长，除以直径3，周长与直径之比为6/2 = 3，这就是n = 3的古值。但是这个数字不正确。我们可以清楚地看到内接正六边形的周长比周长小得多。

如果我们把正六面地形内接的边数增加一倍，变成正十二面地形，”然后用适当的方法求出它的周长，就可以看出；这个周长比内接正六边形的周长更接近圆的周长，内接正十二边形的弯曲面积也更接近圆的面积。由此我们可以得出一个结论:内接正多边形做成一个圆的边越多，每条边的总长度与周长之差就越小。理论上讲，如果内接正多边形的边数增加到无穷大，那么正多边形的周长将与周长紧密重合；由此计算出的内接无限正多边形的面积等于圆的面积。但事实上；我们不可能把内接正多边形的边数增加到无穷大，使无瑕疵正多边形的周长与周长重合。内接正多边形的边数只能有限地增加，使其周长和周长接近重合。因此，通过增加圆的内接正多边形的边数，圆周率总是略小于吴的真值。根据这个原理，刘辉把内切圆从内切圆到内切圆的边数增加了一倍，得到了3.141024的圆周率。把这个数变成分数，就是157/50。刘徽得到的圆周率后来被称为“微比”。他的计算方法其实有现代数学中极限的概念；这是中国古代圆周率研究的两大辉煌成就。

祖冲之在圆周率的计算上取得了超越前人的巨大成就。据《隋书律志》记载，祖冲之化一尺为一亿，以此径推算圆周率。他计算的结果是两个数:一个是丰数，为3.1415927；一个是圆周率的数字，是3.1415926。圆周率的真实值就在这两个数字之间。“隋书”只有这么简单的记录，没有具体说明他是如何计算的；但是从当时的数学水平来看，除了刘辉的切圈，没有更好的方法了。祖冲之大概采用了这种方法。因为利用刘辉的方法，当一个圆的内接正多边形的边数增加到24576时，就可以精确地得到祖冲之得到的结果。

这两个数可以列为不等式，如:3.1415926<吴< 3.1415927；这表明圆周率应该在两个数字之间。根据当时计算中使用分数的习惯，祖冲之也采用了两个分数的圆周率。一个是355/113，这是一个精确的数字，所以祖冲之称之为“密度”。另一个是手，比较粗糙，所以祖冲之称之为“近似率”。在欧洲，直到1573年，德国数学家才开始计算355/113的值。因此，日本数学家三尚义夫建议将355/113的圆周率值称为“祖率”，以纪念这位伟大的中国数学家。

由于祖冲之的数学专著《朱书》已失传于《隋书》，其圆周率的求法也没有详细记载，研究我国数学遗产的专家对其求法众说纷纭。

有人认为《祖冲之》中的“圆周率”。它是用内接正多边形作为圆的方法得到的；用外切正多边形的方法得到“丰数”。如果祖冲之继续用刘辉的方法，从圆的内切子六边形开始，将边数一个一个地加倍，直到内切正24576条边，每条边的总长度只能逼近且小于周长，正多边形的面积只能逼近且小于圆面积一个一个。从此计算出的圆周率为3.14159261，只能小于圆周率的真实值，即腕数。从祖冲之的数学水平来看，也有可能突破刘辉的方法，尝试从外切正六边形中逐个计算圆周率。如果祖冲之把外切正六边形的边数乘以一个24576的正六边形，那么他得到的圆周率应该是. 47777 . 77979999996因为外切正多边形每条边的总长度总是大于圆的长度，而正多边形的面积总是大于圆的面积，所以这个数总是大于真圆周率。通过将小数点后7位的数字四舍五入，得出了这个大数。

没有确切的史料证明祖冲之是否同时使用了题记法和夕H3法来计算圆周率的丰数。然而，用这种方法得到的月度和利润数字与祖冲之得到的数字基本一致。因此，一些数学史家认为，祖冲之用外接圆正多边形作为圆的方法得到圆周率，是一个非常合理的推论。

然而，根据其他数学史家的研究，余数和月数也可以通过计算内接正l2288边和正24576边的边长得到。但是，这个计算很难理解。这里我就不说了。

虽然说法有差异，但可以肯定的是，祖冲之曾经得到过“密度”，并明确表示他用上限和下限来说明圆周率的范围。1500年前，他有这样的成就和知识，真的配得上我。他们钦佩。

在计算圆周率时，祖冲之付出了很多心血。如果从正六边形算起；当边数达到24576时，需要重复同一运算程序十二次，每个运算程序包括加减乘除平方根等十余步。我们用纸、笔和算盘做这样的计算是极其困难的。当时祖冲之做这么难的计算，只能用筹码逐渐推演。如果头脑不是很冷静和精细，没有毅力，就永远不会成功。祖冲之的顽强、刻苦的研究精神值得敬佩。

祖冲之死后，儿子祖日继续父亲的研究，进一步发现了计算球体体积的方法。

在中国古代代数书《算术九章》中，列出了一个计算球体体积的公式，但它非常不准确。虽然刘辉曾经指出过它的错误，但他并没有解决如何计算比赛的问题。祖日努力学习后，终于找到了正确的计算方法。他计算球体体积的公式是:球体体积= u /6D3。这个公式今天仍然被人们使用。

祖冲之还著有《诸书》五卷，是一部优秀的数学著作，受到人们的高度重视。唐朝官办学校的计算学科中，规定学生要学习“诸术”四年；政府举办数学的时候，经常会出“作文”的题。这本书已经传到了韩国和日本。遗憾的是，北宋中期，这件有价值的作品失传了。