什么是矩阵的奇异值分解 什么是矩阵的奇异值分解
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奇异值矩阵奇异值矩阵分解
奇异值分解是线性代数中一种重要的矩阵分解，在信号处理、统计等领域有着重要的应用。
定义:设A为m*n阶矩阵，A的N个特征值的非负平方根称为A的奇异值。
记为。
，然后哈)。
定理:设a是m*n阶的复矩阵，则有m阶的酉矩阵u和n阶的酉矩阵v，这使得:
' A = U*S*V '
其中S=diag，σi>0，r =秩。
推论:设A是m*n阶的实矩阵，那么就有M阶的正交矩阵U和N阶的正交矩阵V，这样
' A = U*S*V '
其中S=diag，σi>0，r =秩。
描述:
1.奇异值分解非常有用。对于矩阵A，有U，V，S，满足A = U * S * V’。
u和v是a的奇异向量，s是a的奇异值。
AA’的正交单位特征向量形成u，特征值形成S，A’的正交单位特征向量形成v，特征值形成SS。
因此，奇异值分解与特征值问题密切相关。
2.奇异值分解提供了关于a的一些信息，比如非零奇异值的个数与a的秩相同，秩R一旦确定，U的前R列构成a的列向量空之间的正交基。
关于奇异值分解中考虑的对象是实矩阵时，s对角元素的平方正好是A'A特征值的解释。
由以上可知，矩阵的奇异值分解如下:A=USV，其中U和V为正交矩阵，S为对角矩阵。
A'A=V'S'U'USV=V'S'SV=V-1S2V
上式中，一方面因为S是对角矩阵，S的S=S2，S2的对角元素是S的对角元素的平方，另一方面注意到A’A和S2相似，所以和S2有相同的特征值。
注意:以下符号与上述符号不同，请注意区分
SVD步骤:
1.向美国心脏协会或AAH咨询
2.求AHA或AAH的特征值和特征向量x1，x2，...xr和r。
3.U=接地
4.V1 = AU1δ R-1。如果V2与它正交，那么V=
那么n阶复合矩阵U的n列向量就是U空之间的标准正交基，那么U就是U矩阵。
一个简单的充要判据是转置共轭矩阵乘以U等于单位矩阵，那么U就是U矩阵
正交向量组的性质
在1欧几里得空之间定义V的一组成对正交非零向量称为V的正交向量集.
如果一个正交向量组的每个向量都是一个单位向量，那么这个正交向量组称为标准正交向量组。
设v为n维欧几里德空。如果v中的n个向量α1，α2，…，αn构成一个正交群，那么定理9.2.1说明这n个向量构成v的一个基，这样的基叫做v的正交基，如果v的一个正交基还是一个标准正交向量群，那么这个基就是v的一个标准。
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