勾股定理的历史 勾股定理背景历史和证明方法

勾股定理背景历史和证明方法

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商高定理

商高是公元前十一世纪的中国人。

当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。

在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作 《周髀 算经》中记录着商高同周公的一段对话。

商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3和4时，径隅则为5。

以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。

这就是著名的勾股定理.

关于勾股定理的发现，《周髀算经》上说："故禹之所以治天下者，此数之所由生也。

""此数"指的是"勾三股四弦五"，这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。

毕达哥拉斯定理

Pythagoras’ theorem

在国外，相传勾股定理是公元前500多年时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。

因此又称此定理为“毕达哥拉斯定理”。

法国和比利时称它为“驴桥定理”，埃及称它为“埃及三角形”等。

但他们发现的时间都比我国要迟得多。

赵爽与勾股定理

赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。

他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。

以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展。

例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。

中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。

尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。

事实上，“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。

正如当代中国数学家吴文俊所说：“在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的......十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续。”

应用就是求题,直角三角形知道2长边求第3边长

一、达纲要求：

1、理解余角的概念，掌握同角或等角相等，直角三角形两锐角互余等性质，会用它们进行有关论证和计算。

2、了解逆命题和逆命定理的概念，原命题成立它的逆命题不一定成立，会识别两个互逆命题。

3、掌握勾股定理，会用勾股定理由直角三角形两边长求第三边长；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。

4、初步掌握根据题设和有关定义、公理、定理进行推理论证。

5、通过介绍我国古代数学关于勾股定理的研究，对学生进行爱国主义教育。

二、重点提示

1、重点 勾股定理及其应用

2、难点 勾股定理及其逆定理的证明

3、关键点 灵活运用勾股定理及其逆定理进行证题和计算

三、方法技巧

1、勾股定理是直角三角形三边存在的一种特殊关系，它的证明方法很多，用面积法证明比较简捷，用面积法证题是一种重要的证题方法，涉及到距离或垂线段时运用面积法解题较方便。

2、勾股定理的应用非常广泛，在进行几何计算时，常常要用到代数知识的方法，有的几何题为了应用勾股定理，可以作高构造直角三角形。

3、勾股定理的逆定理的证明方法比较特殊，这种证题思路和方法值得学习借鉴，勾股定理的逆定理是判定是否直角三角形的重要依据，它可以通过边的长度关系，确定角的大小，因而在应用时，有一定的技巧，解题的思路有时更为特殊。

四、典型考题示范

例1.若ΔABC的三外角的度数之比为3：4：5，最长边AB与最小边BC的关系是______。

分析：因为三角形三个外角与三内角互补，三角形的内角和为180°，所以三外角的和为360°，这样三个外角的度数分别为90°，120°，150°，因而三角形之内角的度数分别为90°，60°，30°，因而三角形是含30°角的直角三角形，应用直角三角形，应用直角三角形的性质可以找到最长边与最短边的关系。

解：设三角形的三个外角分别为3α，4α，5α，则有3α+4α+5α=360°，

∴α=30°3α=90° 4α=120° 5α=150°

故三角形三个角度数为∠C=180°-90°=90°,∠B=180°-120°=60°,∠A=180°-150°=30°,∴ΔABC为含30°的直角三角形。

∴AB=2BC

填 AB=2BC

评注：本题应用勾股定理可以找到三边的关系，若已知一条边的长，可以求其余两边长。